Вам нужен только ветпаспорт. Клетка, бокс по размерам собаки/кошки.
Обязательна прививка от бешенства где-то за месяц до вылета.
Делаете бронь в аэропорту, что с вами летит собака или кошка. И за 3 дня до вылета берет справку в госветстанции о том, что ваше животное здорово и привито от бешенства.
Ну и животное оплачивается как багаж сверхнормы. Взвесят там и скажут скоко, вроде было 250руб за кг, но это точно вам уже в аэропорту скажут.
Перед аэропортом вам надо заехать еще в ветконтроль - это где грузовой терминал и поставить печать на справке из госветстанции и усе, можете ехать сдаваться.